Fibonaccin, Spiraalit ja Kultainen

Original page: https://math.temple.edu/~reich/Fib/ 

Fibonacci-sekvenssi ilmentää tietty numeerinen malli, joka alunperin vastaus harjoitus ensimmäinen lukion algebran tekstiä. Tämä malli osoittautui olevan etua ja merkitys paljon suurempi kuin mitä sen luoja kuvitellut. Sitä voidaan käyttää mallina tai kuvaamaan hämmästyttävän erilaisia ​​ilmiöitä, matematiikan ja tieteen, taiteen ja luonnon. Matemaattinen ajatuksia Fibonaccin johtaa, kuten kultainen suhde, spiraaleja ja itsensä kaltaiset käyrät, ovat jo pitkään arvostettu niiden viehätys ja kauneus, mutta kukaan ei voi todella selittää, miksi ne ovat niin selvästi myönteistä vastakaikua taiteen maailmaan ja luonto.

Tarina alkoi Pisassa, Italiassa vuonna 1202. Leonardo Pisano Bigollo oli nuori mies parikymppinen, jäsen tärkeä kauppakumppani perheen Pisan. Hänen matkoillaan koko Lähi-idässä, hän innostunut matemaattisia ideoita, jotka olivat tulleet länteen Intian kautta arabimaista. Kun hän palasi Pisa hän julkaisi näitä ideoita kirjaa matematiikan nimeltä Liber Abaci, josta tuli maamerkki Euroopassa. Leonardo, joka on sittemmin tullut tunnetuksi Fibonacci tuli kuuluisimman matemaatikko keskiajalla. Hänen kirjansa oli diskurssi matemaattisia menetelmiä kaupan, mutta on nyt muistetaan lähinnä kahdesta maksuja, yksi tietenkin tärkeää tuolloin ja näennäisesti merkityksetön.

Yksi tärkeä: hän tietoon Euroopan hindujen järjestelmä kirjallisesti numeroita. Euroopan kauppiaat ja tutkijat olivat yhä kiinni käytön vanhan roomalaisin numeroin; moderni matematiikka olisi ollut mahdotonta ilman tätä muutosta Hindu järjestelmään, jota kutsumme nyt arabia merkintä, koska se tuli länteen läpi arabia mailla.

Muut: piilossa lista aivot-ratkaisupelejä, Fibonacci aiheuttamat seuraavan kysymyksen:

Jos pari kanit laitetaan suljetussa tilassa, kuinka monta kanit syntyy siellä, jos oletamme, että joka kuukausi pari kanit tuottaa toisen parin, ja että kanit alkavat kantaa nuorille kahden kuukauden kuluttua niiden syntymästä?

Tämä ilmeisesti viaton pieni kysymys on vastauksena tietyn numerosarja, joka tunnetaan nyt kuten Fibonaccin, joka on osoittautunut yhdeksi kiinnostavimmista koskaan kirjoitettu. Sitä on löydetty uudelleen hämmästyttävän erilaisia muotoja, on matematiikan pidemmälle yksinkertainen aritmeettinen. Sen menetelmän kehitys on johtanut kauaskantoisia sovelluksia matematiikan ja tietotekniikassa.

Mutta vielä kiehtovaa on yllättävä ulkonäkö Fibonaccin luvut, ja niiden suhteellinen suhde, Arenas kaukana loogista rakennetta matematiikan: luonnossa ja taiteen, klassisen teoriat kauneuden ja osuus.

Tarkastellaan elementary esimerkki geometrinen kasvu — suvuton lisääntyminen, kuten että ameebasta. Kukin organismi jakautuu kahteen aikavälin jälkeen kypsymisaika lajille tunnusomaista. Tämä aikaväli vaihtelee satunnaisesti, mutta tietyissä rajoissa mukaan ulkoiset olosuhteet, kuten lämpötila, ravinteiden saatavuuden ja niin edelleen. Voimme kuvitella yksinkertaisen mallin, jossa, täydellisessä olosuhteissa, kaikki amoebae split jälkeen samalla kasvukaudella.

Niin, yksi amoebas tulee kaksi, kahdesta tulee 4, sitten 8, 16, 32, ja niin edelleen.

Saamme kaksinkertaistamista järjestyksessä. Huomaa rekursiivinen kaava:

  • An = 2AN

Tämä tietenkin johtaa eksponentiaalista kasvua, yksi luonteenomainen väestönkasvun.

Nyt Fibonacci kanin tilanteessa on viiveellä tekijä; Kunkin parin vaatii jonkin verran aikaa kypsyä. Joten oletamme

  • kypsymisaika = 1 kuukausi
  • tiineysaikaa = 1 kuukausi

Jos sinun pitäisi kokeilla tätä omalla takapihallaan, tässä mitä tapahtuisi:

Nyt tietokone piirtää muutama rivejä:

Kuvio näemme tässä, että kunkin kohortin tai sukupolvi säilyy osana seuraavan, ja lisäksi jokaisella aikuinen pari vaikuttaa vauva paria. Monta tällaista vauvan paria täsmää kokonaismäärän parien edellisessä sukupolvessa. Symbolisesti

  • n  = parien aikana kuukauden n
  • n  = f n-1  + f n-2

Joten meillä on rekursiivinen kaava jossa kukin sukupolvi määritellään suhteessa edellisen kaksi sukupolvea. Tällä menetelmällä voidaan peräkkäin laskea Fn niin monta sukupolvea kuin haluamme.

Joten tämä numerosarja 1,1,2,3,5,8,13,21, … ja rekursiivinen tapa rakentaa sitä loputtomiin, on ratkaisu Fibonacci palapeliä. Mutta mitä Fibonacci ei ole voinut ennakoida oli lukemattomia sovelluksia, jotka näitä numeroita ja tämä menetelmä lopulta. Hänen ajatuksenaan oli hedelmällinen kuin hänen kanit. Pelkästään ehtojen puhdasta matematiikkaa — lukuteoria, geometria ja niin edelleen — soveltamisala hänen ajatus oli niin suuri, että kokonainen ammattilehdessä on omistettu sitä — Fibonacci Quarterly.

Nyt katsoa toisen kohtuullisen luonnollista tilanteessa, jossa samassa järjestyksessä ”mystisesti” ponnahtaa ylös. Palata 350 vuotta ja 17-luvulla Ranskassa. Blaise Pascal on nuori ranskalainen tutkija, joka on revitty välillä hänen nauttia geometrian ja matematiikan ja hänen rakkautensa uskonto ja teologia. Yksi hänen maallisemmille hetkiä häntä kuullaan ystävä, ammatillinen peluri, Chevalier de ihan sinne, Antoine Gombaud. Chevalier kysyy Pascal joitakin kysymyksiä näytelmiä noppaa ja kortit, ja noin oikea jako panoksia keskeneräisen pelin. Pascal vastaus on keksiä täysin uusi matematiikan, Тeorian todennäköisyys. Tämä teoria on kasvanut vuosien varrella elintärkeä 20-luvulla väline tieteen ja yhteiskuntatieteissä. Pascal työ nojaa vahvasti kokoelma numeroita nyt nimeltään Pascalin kolmio, ja edusti näin:

Tämä kokoonpano on monia mielenkiintoisia ja tärkeitä ominaisuuksia:

  • Huomaa vasen-oikea-symmetriaa — se on oma peilikuva.
  • Huomaa, että jokaisessa rivissä, toinen luku laskee rivi.
  • Huomaa, että kussakin rivissä, 2. + 3. lukumäärä lasketaan suuremmat luvut että linja.

On loputon muunnelmia tästä teemasta.

Seuraavaksi huomaa mitä tapahtuu, kun lisäämme numerot jokaisen rivin — saamme kaksinkertaistamista järjestyksessä.

Nyt visuaalinen mukavuussyistä piirtää kolmion vasemmalla perusteltua. Lisätä lukuja eri lävistäjät …

ja saamme 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …Fibonaccin!

Fibonaccin voinut tietää tästä yhteys hänen kanit ja todennäköisyyslaskenta — teoria ei ollut olemassa vasta 400 vuotta myöhemmin.

Mikä on todella mielenkiintoista Fibonaccin on, että sen kasvumallin jollain mystisellä tavalla vastaa voimia valvoa kasvua monenlaisia ​​luonnon dynaamisten järjestelmien. Melko analoginen lisääntymiselle kanit, voimme miettiä sukupuu mehiläinen — niin katsomme esivanhempien pikemmin kuin jälkeläisiä. Yksinkertaistetussa lisääntymis — malli, mies mehiläinen kuoriutuu hedelmöitetty muna ja siten hänellä on vain yksi vanhempi, kun taas naisten kuoriutuu hedelmöittynyt munasolu, ja on kaksi vanhempaa. Tässä on sukupuu tyypillisen mies mehiläinen:

Huomaa, että tämä näyttää pupu kaavio, mutta liikkuvat ajassa taaksepäin. Mies esi jokaisessa sukupolvessa muodostaa Fibonacci-sekvenssi, samoin kuin naaras esi, samoin kuin koko. Näet puusta että mehiläisten yhteiskunta naisvaltaisia.

Tunnetuin ja kauniita esimerkkejä esiintyminen Fibonacci-sekvenssin luonnossa löytyy erilaisia ​​puita ja kukkia, yleensä kyylillä jonkinlainen kierre rakenne. Esimerkiksi lehtiä kukan varren tai oksalle kasvavat usein spiraalimaisesti, raju aroung sivuliikkeen uudet lehdet muodostavat kauemmas. Tämä kuva: Sinulla on sivuliike käteen. Keskittyä oman huomiota tietyllä lehtiä ja alkaa laskea ympäri ja ulospäin. Count lehdet, ja myös laskea, kuinka monta kierrosta ympäri haara, kunnes palaat kantaa vastaavia alkuperäisiä lehtiä, mutta edelleen pitkin haara. Molemmat luvut ovat Fibonaccin luvut.

Esimerkiksi jonkin päärynäpuu tulee olemaan 8 lehdet ja 3 kierrosta. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä:

Oksat Fibonacci Family
Puu lehdet Turns
Jalava 2 1
Kirsikka 3 2
Pyökki 3 1
Poppeli 5 2
Itkuraita 8 3
Päärynä 8 3
Manteli 13 8

Voit kävellä puistossa ja löytää tämän kuvion kasveja ja pensaita melko helposti.

Paljon kukkia tarjoavat kaunis vahvistus Fibonacci mystiikkaa. Kameroiden on keskeinen ydin, joka koostuu pieni kukinnot järjestetty vastakkaisiin kierteelle. On yleensä 21 menossa vasemmalle ja 34 oikealle. Vuori Aster voi olla 13 kierteelle vasemmalle ja 21 oikealle. Auringonkukat ovat näyttäviä esimerkiksi, joissa on tyypillisesti 55 spiraalit yksi tapa ja 89 muissa; tai, hienoimpia lajikkeita, 89 ja 144.

Kävyt on myös rakennettu spiraalimaisesti, pienissä ottaa yleisesti 8 spiraalit yhteen suuntaan ja 13 toiseen. Mielenkiintoisin on ananas — rakennettu viereisen laput, kolme erilaista kierteestä kolmessa ulottuvuudessa. On 8 oikealle, 13 vasemmalle, ja 21 vertikaalisesti — Fibonacci kolminkertainen.

Miksi näin? Siksi on luontoa havaittu evoluution etu järjestämällä kasvi rakenteiden spiraalimuotoja jolla Fibonaccin?

Meillä ei ole ainoaa oikeaa vastausta. Vuonna 1875 matemaatikko nimeltään Wiesner tarjotaan matemaattinen osoitus että kierteinen järjestely lehtiä sivuliikkeen Fibonacci suhteissa oli tehokas tapa kerätä mahdollisimman paljon auringonvaloa muutamia lehtiä — hän väitti, että paras tapa. Mutta viime aikoina Cornell University kasvitieteilijä nimetty Karl Niklas päätti testata tätä hypoteesia hänen laboratoriossa; Hän havaitsi, että lähes mikä tahansa kohtuullinen järjestely lehtien on sama auringonvalo kerääminen valmiudet. Joten olemme edelleen epäselvää valoa.

Mutta jos ajattelemme luonnollisin kasvuvauhtiin Mielestäni voimme alkaa ymmärtää läsnäolon kierteelle ja yhteys spiraalit ja Fibonaccin.

Spiraalit syntyä ominaisuus kasvun kutsutaan itsesimilaarinen tai skaalaus — taipumus kasvaa kooltaan, mutta säilyttää sama muoto. Ei kaikki organismit kasvavat tätä itse samalla tavalla. Olemme nähneet, että aikuisten ihmisten, esimerkiksi eivät ole vain skaalata vauvoille: vauvat ovat suuremmat päät, lyhyempi jalat ja pidempi vartalo kokoonsa nähden. Mutta jos katsomme esimerkiksi kuoren helmiveneet näemme differnet kasvumalli. Koska nautilus outgrows kunkin kammion, se rakentaa uusia kammiot puolestaan, aina sama muoto — jos kuvitella hyvin pitkäikäinen Nautilus, sen kuori kiertäisi ympäri ja ympäri, kasvaa yhä suurempia, mutta aina löytää täsmälleen sama jokaisessa mittakaavassa.

Tässä on jossa Fibonacci tulee — voimme rakentaa neliömäinen eräänlainen nautilus aloittamalla neliön koko 1 ja peräkkäin pohjalta uutta huonetta, joiden koot vastaavat Fibonacci sekvenssi:

Running keskustan kautta neliöitä, jotta sileä käyrä saadaan Nautilus kierre = auringonkukan kierre.

Tämä on erityinen kierre, itse samanlainen käyrä, joka pitää muotonsa ollenkaan mittakaavoissa (jos kuvitella sen kierteestä ikuisesti). Sitä kutsutaan  equiangular  koska säteittäisen linjan päässä tekee aina samassa kulmassa käyrä. Tämä käyrä tiedettiin Arkhimedes Antiikin Kreikan suurin geometer muinoin, ja ehkä kaikkien aikojen.

Meidän pitäisi ajatella tämän käyrän kuin raju sisäänpäin ikuisesti sekä ulospäin. On vaikea vetää; voit visualisoida vettä pyörivät pieni drainhole, vedetään lähemmäs kuin se kiemurtelee, mutta ei koskaan laskenut. Tämä vaikutus on havainnollistettu toinen klassisen brain-teaser:

Neljä virheet seisovan neljä neliön kulmissa. He ovat nälkäisiä (tai yksinäisiä) sekä samalla hetkellä he kukin nähdä bug seuraavassa kulmassa yli ja aloittaa indeksoinnin kohti. Mitä tapahtuu?

Kuva kertoo. Koska ne indeksoida toisiaan kohti niiden kierre keskelle, aina muodostaa yhä pienempi neliö, kääntämällä ympäri ja ympäri ikuisesti. Silti he saavuttavat toisiaan! Tämä ei ole paradoksi, koska pituus tämä kierre on rajallinen. Ne hahmotella saman equiangular kierre.

Nyt koska kaikki nämä kierteelle ovat itse samanlaisia ​​ne näyttävät samalta kaikissa mittakaavassa — asteikko ei ole väliä. Ratkaisevaa on osuutta — näiden kierteelle on kiinteä osa määritettäessä muotonsa. On käynyt ilmi, että tämä osuus on sama kuin osuudet tuottamat peräkkäiset merkinnät Fibonaccin: 5: 3, 8: 5,13: 8, ja niin edelleen. Tässä on laskelma:

Kuten me pidemmälle ulos sekvenssin, osuudet vierekkäisten ehdot alkaa lähestyä kiinteää raja-arvoa 1,618034… Tämä on hyvin tunnettu suhde, jolla on pitkä ja kunnia historia; Golden Mean Eukleides ja Aristoteleen, jumalallinen osuus Leonardo daVinci, pidetään kaunein ja tärkeä määrien. Tämä määrä on enemmän ärsyttävä ominaisuuksia kuin voitte kuvitella.

Yksinkertaisella laskutoimituksella, näemme, että jos me vähennä 1 saamme 0,618.. joka on sen vastavuoroinen. Jos lisäämme 1 saamme 2,618… joka on sen neliö.

Perinteisellä nimi tälle numeron, kreikkalainen kirjain f ( ”phi”) voimme kirjoittaa symbolisesti:

Ongelman asteen yhtälö saadaan

Tässä muutamia muita outoja mutta kiehtova ilmaisuja, jotka voidaan johtaa:

 , ääretön lukuisiin neliöjuuren.

 , ääretön lukuisiin fraktioita.

Käyttäen tätä kultainen suhde kuin perusta, voimme rakentaa nimenomainen kaava Fibonacci-numerot:

Kaava Fibonacci-numerot:

Mutta kreikkalaiset oli enemmän visuaalinen näkökulman kultainen keskitie. He kysyivät: mikä on luonnollisin ja sopusuhtainen tapa jakaa linjan 2 osaan? He kutsuivat tätä osiossa. Kreikkalaiset tuntui vahvasti, että ihanteellinen pitäisi vastata osuutta osien väliin, sekä sen osien koko. Tämä johtaa suhteessa tarkalleen f.

Muodostaa suorakulmion osien linjan puolin johtaa visuaalisesti miellyttävä muoto, joka oli perustana niiden taidetta ja arkkitehtuuria. Tämä esteettinen hyväksyi Renessanssin suurista taiteilijoista heidän maalaus, ja on vielä tänäänkin.